Реализация библиотеки matrix.h.
- Chapter I
1.1. Information - Chapter II
2.1. Part 1
Первые упоминания о матрицах (или как их тогда называли - "волшебных квадратах") были обнаружены на территории древнего Китая.
Свою известность они получили в середине XVIII века благодаря труду знаменитого математика Габриэля Крамера, опубликовавшего свой труд - "Введение в анализ алгебраических кривых", в котором описывался принципиально новый алгоритм решения систем линейных уравнений.
Вскоре после него были опубликованы работы Карла Фридриха Гаусса о "классическом" методе решения линейных уравнений, теорема Гамильтона-Кели, работы Карла Вейерштрасса, Георга Фробениуса и других выдающихся ученых.
И только в 1850 году Джеймс Джозеф Сильвестр в своей работе вводит термин "Матрица".
Матрица - это набор чисел, расположенных в фиксированном количестве строк и столбцов.
Матрица A - прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
1 2 3 4
В = 5 6 7 8
9 10 11 12
Получить нужный элемент можно при помощи индексов, так A[1,1] = 1, где первый индекс - номер строки, второй - номер столбца.
Матрица А будет иметь элементы с следующими индексами:
(1,1) (1,2) (1,3)
A = (2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
Прямоугольная матрица (В) — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
Квадратная матрица (А) — это матрица у которой число строк равно числу столбцов.
Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
(1,1)
A = (2,1)
(n,1)
Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
A = (1,1) (1,2) (1,m)
Tip: матрицу-столбец и матрицу-строку ещё часто называют векторами.
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
1 0 0
A = 0 1 0
0 0 1
Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
1 2 3
A = 0 4 5
0 0 6
typedef struct matrix_struct {
double** matrix;
int rows;
int columns;
} matrix_t;Все операции (кроме сравнения матриц) должны возвращать результирующий код:
- 0 - OK
- 1 - Ошибка, некорректная матрица
- 2 - Ошибка вычисления (несовпадающие размеры матриц; матрица, для которой нельзя провести вычисления и т.д.)
int s21_create_matrix(int rows, int columns, matrix_t *result);void s21_remove_matrix(matrix_t *A);#define SUCCESS 1
#define FAILURE 0
int s21_eq_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);Две матрицы A, B совпадают |A = B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны, то есть при всех i, j A(i,j) = B(i,j).
Сравнение должно происходить вплоть до 7 знака после запятой включительно.
int s21_sum_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);
int s21_sub_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);Суммой двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A + B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) + B(i,j).
Разностью двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A - B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) - B(i,j).
1 2 3 1 0 0 2 2 3
С = A + B = 0 4 5 + 2 0 0 = 2 4 5
0 0 6 3 4 1 3 4 7
int s21_mult_number(matrix_t *A, double number, matrix_t *result);
int s21_mult_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B, matrix_t *result);Произведением матрицы A = m × n на число λ называется матрица B = m × n = λ × A, элементы которой определяются равенствами B = λ × A(i,j).
1 2 3 2 4 6
B = 2 × A = 2 × 0 4 2 = 0 8 4
2 3 4 4 6 8
Произведением матрицы A = m × k на матрицу B = k × n называется матрица C = m × n = A × B размера m × n, элементы которой определяются равенством C(i,j) = A(i,1) × B(1,j) + A(i,2) × B(2,j) + … + A(i,k) × B(k,j).
1 4 1 -1 1 9 11 17
C = A × B = 2 5 × 2 3 4 = 12 13 22
3 6 15 15 27
Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:
C(1,1) = A(1,1) × B(1,1) + A(1,2) × B(2,1) = 1 × 1 + 4 × 2 = 1 + 8 = 9
C(1,2) = A(1,1) × B(1,2) + A(1,2) × B(2,2) = 1 × (-1) + 4 × 3 = (-1) + 12 = 11
C(1,3) = A(1,1) × B(1,3) + A(1,2) × B(2,3) = 1 × 1 + 4 × 4 = 1 + 16 = 17
C(2,1) = A(2,1) × B(1,1) + A(2,2) × B(2,1) = 2 × 1 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12
C(2,2) = A(2,1) × B(1,2) + A(2,2) × B(2,2) = 2 × (-1) + 5 × 3 = (-2) + 15 = 13
C(2,3) = A(2,1) × B(1,3) + A(2,2) × B(2,3) = 2 × 1 + 5 × 4 = 2 + 20 = 22
C(3,1) = A(3,1) × B(1,1) + A(3,2) × B(2,1) = 3 × 1 + 6 × 2 = 3 + 12 = 15
C(3,2) = A(3,1) × B(1,2) + A(3,2) × B(2,2) = 3 × (-1) + 6 × 3 = (-3) + 18 = 15
C(3,3) = A(3,1) × B(1,3) + A(3,2) × B(2,3) = 3 × 1 + 6 × 4 = 3 + 24 = 27
int s21_transpose(matrix_t *A, matrix_t *result);Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
1 4 1 2 3
A = A^T = 2 5 = 4 5 6
3 6
int s21_calc_complements(matrix_t *A, matrix_t *result);Минором M(i,j) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычёркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца.
Для матрицы:
1 2 3
A = 0 4 2
5 2 1
Минором первого элемента первой строки будет:
M(1,1) = 4 2
2 1
|M| = 4 - 4 = 0
Матрица миноров будет иметь вид:
0 -10 -20
M = -4 -14 -8
-8 2 4
Алгебраическим дополнением элемента матрицы является значение минора умноженное на -1^(i+j).
Матрица алгебраических дополнений будет иметь вид:
0 10 -20
M. = 4 -14 8
-8 -2 4
int s21_determinant(matrix_t *A, double *result);Определитель (детерминант) - это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице и вычисляют из элементов по специальным формулам.
Tip: определитель может быть вычислен только для квадратной матрицы.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Поиск определителя для матрицы A по первой строке:
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
|A| = 1 × 5 6 - 2 × 4 6 + 3 × 4 5 = 1 × (5 × 9 - 8 × 6) - 2 × (4 × 9 - 6 × 7) + 3 × (4 × 8 - 7 × 5)
8 9 7 9 7 8
|A| = 1 × (45 - 48) - 2 × (36 - 42) + 3 × (32 - 35) = -3 + 12 + (-9) = 0
|A| = 0
int s21_inverse_matrix(matrix_t *A, matrix_t *result);Матрицу A в степени -1 называют обратной к квадратной матрице А, если произведение этих матриц равняется единичной матрице.
Обратной матрицы не существует, если определитель равен 0.
Обратная матрица находится по формуле
Дана матрица:
2 5 7
A = 6 3 4
5 -2 -3
Поиск определителя:
|A| = -1
Определитель |A| != 0 -> обратная матрица существует.
Построение матрицы миноров:
-1 -38 -27
М = -1 -41 -29
-1 -34 -24
Матрица алгебраических дополнений будет равна:
-1 38 -27
М. = 1 -41 29
-1 34 -24
Транспонированная матрица алгебраических дополнений будет равна:
-1 1 -1
М^T. = 38 -41 34
-27 29 -24
Реализовать основные действия с матрицами (частично описанные выше): create_matrix (создание), remove_matrix (очистка и уничтожение), eq_matrix (сравнение), sum_matrix (сложение), sub_matrix (вычитание), mult_matrix (умножение), mult_number (умножение на число), transpose (транспонирование), determinant (вычисление определителя), calc_complements (вычисление матрицы алгребраический дополнений), inverse_matrix (поиск обратной матрицы).
- Библиотека должна быть разработана на языке Си стандарта C11 с использованием компилятора gcc
- Код библиотеки должен находиться в папке src в ветке develop
- Не использовать устаревшие и выведенные из употребления конструкции языка и библиотечные функции. Обращать внимания на пометки legacy и obsolete в официальной документации по языку и используемым библиотекам. Ориентироваться на стандарт POSIX.1-2017
- Оформить решение как статическую библиотеку (с заголовочным файлом s21_matrix.h)
- Библиотека должна быть разработана в соответствии с принципами структурного программирования
- Перед каждой функцией использовать префикс s21_
- Подготовить полное покрытие unit-тестами функций библиотеки c помощью библиотеки Check
- Unit-тесты должны покрывать не менее 80% каждой функции
- Предусмотреть Makefile для сборки библиотеки и тестов (с целями all, clean, test, s21_matrix.a, gcov_report)
- В цели gcov_report должен формироваться отчёт gcov в виде html страницы. Для этого unit-тесты должны запускаться с флагами gcov
- Матрица должна быть реализована в виде структуры описанной выше
- Проверяемая точность дробной части - максимум 6 знаков после запятой.