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\documentclass{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[top=1.5cm, bottom=2cm, left=3cm, right=3cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol} % multi columns
\usepackage{color}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{amssymb}
\setcounter{tocdepth}{0} % only chapters appear in 'table of contents'
\title{\Large{\bsc{MATH-F-112 - Math\'{e}matiques}}\\
Exercices - Module A\\
Nicolas Richard
}
\author{Renato \bsc{Costa Ribeiro}}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CHAPITRE 1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Logique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%RAPPEL
\begin{flushleft} \begin{large}\textbf{\underline{Rappel:}}\end{large}\end{flushleft}
\begin{flushleft} \begin{large}\textbf{Logique}\end{large}\end{flushleft}
\begin{multicols}{4}
{%
\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
\begin{tabular}{|c||c|}
\mc{2}{l}{NON/NOT}\\
\hline
A & $\neg A$\\
\hline
0 & 1\\
1 & 0\\
\hline
\end{tabular}
}
{%
\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c|}
\mc{3}{l}{Conjonction/ET/AND}\\
\hline
A & B & $A \wedge B$\\
\hline
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}%
{%
\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c|}
\mc{3}{l}{Disjonction/OU/OR}\\
\hline
A & B & $A \vee B$\\
\hline
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}%
{%
\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c|}
\mc{3}{l}{Implication}\\
\hline
A & B & $A \Rightarrow B$\\
\hline
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}%
\end{multicols}
\begin{flushleft} \begin{large}\textbf{\newline
D\'{e}monstration par r\'{e}currence}\end{large}\end{flushleft}
On veut une propri\'{e}t\'{e} $P(m)$ por tout $m \in \mathbb{N}$
\newline
\begin{enumerate}[\textperiodcentered]
\item \underline{Cas de base:}
\newline
Montrons $P(0)$
\item \underline{Cas r\'{e}cursif:}
\newline
Supposons que $P(m)$ est vrai pour $m=k$ ($k \in \mathbb{N}$ quelconque) et montrons $P(m)$ pour $m=k+1$
\newline
\item \underline{Remarque:}
\newline
$P(k)$ s'appelle l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%EXERCICES
\section{} % 1.1
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a.]
\item $B \Rightarrow G$
\item $R \Rightarrow S$
\item $(P \vee N) \Rightarrow A$
\item $H \Rightarrow \neg V$
\item $O \Rightarrow P$
\item $(O \Rightarrow N) \wedge (N \Rightarrow O)$
\item $D \Rightarrow C$
\item $\neg C \Rightarrow \neg I$
\item $D \Rightarrow C$
\item $E \Rightarrow N$
\item $(T \wedge N) \Rightarrow I$
\item $I \Rightarrow P$
\item $V \Rightarrow D$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\section{} % 1.2
\begin{enumerate}[(1).]
\item $A \vee B \vee C$
\item $C \Rightarrow A$
\item $B \Rightarrow (A \vee C)$
\end{enumerate}
Pour savoir si A est le coupable il faut: $(1)\wedge(2)\wedge(3)$
\definecolor{tcA}{rgb}{0,0,0}
\begin{center}
\begin{tabular}{|ccc||cccc||c||c|}
\hline
& & & $A \vee B \vee C$ & $C \Rightarrow A$ & & $B \Rightarrow (A \vee C)$ & & \\
\textbf{\textcolor{tcA}{$\textbf{A}$}} & \textbf{\textcolor{tcA}{$\textbf{B}$}} & \textbf{\textcolor{tcA}{$\textbf{C}$}} & \textbf{\textcolor{tcA}{(1)}} & \textbf{\textcolor{tcA}{(2)}} & \textbf{\textcolor{tcA}{$A \vee C$}} & \textbf{\textcolor{tcA}{(3)}} & \textbf{\textcolor{tcA}{$(1)\wedge(2)\wedge(3)$}} & \textbf{\textcolor{tcA}{$(1)\wedge(2)\wedge(3) \Leftrightarrow A $}}\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Comme nous pouvons le constater, la derni\`{e}re colonne uprouve que $(1)\wedge(2)\wedge(3) \Leftrightarrow A $. A est donc le coupable.
\section{} % 1.3
\begin{enumerate}[a. ]
\item Faux. Faisons une table de v\'{e}rit\'{e} pour le cas o\`{u} $P \Rightarrow L$ et $L \Rightarrow P$. Le r\'{e}sultat n'est pas le m\^{e}me. L'affirmation est donc fausse.
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c||c|}
\hline
$P$ & $L$ & $P \Rightarrow L$ & $L \Rightarrow P$\\
\hline
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Vrai. $E \Rightarrow C$ et $C \Rightarrow P$.
\item Faux. $(P \vee T) \nLeftrightarrow (P \Rightarrow \neg T)$
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||ccc|}
\hline
$P$ & $T$ & $\neg T$ & $P \vee T$ & $P \Rightarrow \neg T$\\
\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Vrai. $R \Rightarrow H$
\item Vrai. $N \Rightarrow F$
\item Faux. $(D \Rightarrow P) \nLeftrightarrow (\neg D \Rightarrow \neg P)$
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc||c||c|}
\hline
$D$ & $P$ & $D \Rightarrow P$ & $\neg D \Rightarrow \neg P$\\
\hline
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Vrai. $(D \Rightarrow P) \Leftrightarrow (\neg P \Rightarrow \neg D)$
\end{enumerate}
% JUMP TO 1.9
\stepcounter{section}
\stepcounter{section}
\stepcounter{section}
\stepcounter{section}
\stepcounter{section}
% \JUMP TO 1.9
\section{} % 1.9
\begin{enumerate}[a. ]
\addtocounter{enumi}{1} % SKIP ONE ITEM
\item
D\'{e}montrons que $\forall m \in \mathbb{N} \backslash \big\{0\big\} : $
\newline
\begin{equation} \underbrace{1^{3} + 2^{3} + ... + m^{3}}_\text{$\sum_{i=1}^{m} i^{3}$} = \frac{ m^{2} (m+1) ^{2}}{4} \end{equation}
\begin{enumerate}[\textperiodcentered]
\item \underline{Cas de base:}
\newline Lorsque $m=1$, on a bien que: \newline
\[ \underbrace{1^{3} + ... + m^{3}}_\text{= 1} = \underbrace{\frac{ m^{2} (m+1)^{2}}{4}}_\text{= 1} \]
\item \underline{Cas r\'{e}cursif:}
\newline
Supposon que l'on sait que:
\newline
\[ \sum_{i=1}^{k} i^{3} = \frac{ k^{2} (k+1)^{2}}{4}\]
\newline
Montrons alors l'\'{e}quation (1.1) lorsque $m = k+1$ (pour un $k \in \mathbb{N} \backslash \big\{0\big\}$):
\newline
On a:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} &= 1^{3} + ... + k^{3} + (k+1)^{3}\\
&= \sum_{i=1}^{k} i^{3} + (k+1)^{3}\\
&= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} + (k+1)^{3}\\
&= \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}\\
&= \frac{(k+1)^{2}}{4}(k^{2}+4k+4)\\
\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}\\
&ok
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}