LeetCode 96. Unique Binary Search Trees

[Woodyiiiiiii]

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

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这道题其实符合数学中某种数列的规律——卡塔兰数 Catalan Number。一开始，如果节点数n为0，那么返回1(空树也是二叉搜索树)；n为1，只有根为1这一种情况，可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右子树都是空树，所以1乘1还是1；n为2，分为根为1，2这两种情况。

创建一个n+1长度的一维dp数组，dp[i]表示n为i时的二叉搜素树个数，我们可以得出以下递推式：

dp[2] = dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有一个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　 (2为根的情况，则左子树可以有一个数字，右子树一定不存在)

解释：1为根时，还有一个点2，所以是dp[0] * dp[1]；2为根时，同理是dp[0] * dp[1]。

n = 3时：

dp[3] = dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有两个数字)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　 (2为根的情况，则左右子树都可以各有一个数字)

　　　 + dp[2] * dp[0]　　 (3为根的情况，则左子树可以有两个数字，右子树一定不存在)

相乘的原因是子树在根节点的基础上。最后代码如下：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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参考资料：

• https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/
• [LeetCode] 96. Unique Binary Search Trees grandyang/leetcode#96