高中学生如何使用基本数论证明哥巴赫猜想.tex

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\title{哥巴赫猜想的证明}
\author{知乎用户 $\textbf{@ 证明}$}

\begin{document}

\maketitle

\begin{center}
	思路： 有借有还， 再借不难； 分类讨论， 逐一判断
\end{center}

\section{准备}

\begin{itemize}
	\item 设集合 $\textit{A}$ 为所有满足两个质数之和的偶数的集合， 且此时质数包括正质数和负质数
	\item 设集合 $\textit{B}$ 为所有满足两个质数之和的偶数的集合， 且此时质数只包括正质数
	\item $\forall$ 任意大于等于 $4$ 的偶数 \\ 均可以表示为 $(6k-2), 6k, (6k + 2)$ 中的一种， 其中 $k\in\mathbb{N}_+$
	\item 约定全体素数集为 $\mathbb{P}$， 且有 $k\in\mathbb{N}_+$
\end{itemize}

目的： 证明 $\forall{n}\in\mathbb{N}_+$ 且 $n\ge2$ 则 $2n\in{B}$

\section{证明}

\paragraph{1}

$\because{2=(-1)+3}$ \\
$\therefore$ 得到一个新猜想， 即

\begin{equation}
	\forall{n}\in\mathbb{N}_+,2n\in{B}
\end{equation}

或

\begin{equation}
	2n=(-1)+(2n+1),2n+1\in\mathbb{P}
\end{equation}

将其称为哥德巴赫猜想变式一

\pagebreak

如果把 $-1$ 归到质数集中， 可得命题：

\begin{quotation}
	若 $-1$ 是质数， 则 $\forall{n}\in\mathbb{N}_+,2n\in{A}$ ， 且 $-1$ 为唯一的负质数
\end{quotation}

这个命题的逆否命题为：

\begin{quotation}
	若 $\exists{n_0}\in\mathbb{N}_+,2n_0\notin{A}$ ， 则 $-1$ 不是质数
\end{quotation}

当 $n_0=1$ 时， 若 $2\notin{A}$ ， 则 $-1$ 不是质数： 这是一个真命题， 所以该存在命题是真命题

由于原命题和其逆否命题具有等价关系， 所以原命题是真命题， 哥德巴赫猜想变式一正确

令 $2n=6k+2$ ， 则有 $6k+2\in{B}$ 或 $6k+2=-1+(6k+3), (6k+3)\in\mathbb{P}$ 成立 。 显然 $6k+3=3(2k+1)\notin\mathbb{P}$ ， 从而有 $6k+2\in{B}$

\paragraph{2}

$\because{2=(-3)+5}$， 又可以提出另一个猜想：

\begin{equation}
	\forall{n}\in\mathbb{N}_+,2n\in{B}
\end{equation}

或

\begin{equation}
	2n=-3+(2n+3),2n+3\in\mathbb{P}
\end{equation}

成立， 将其称为哥德巴赫猜想变式二

如果把 $-3$ 归到质数的集合中， 可得命题：

\begin{quotation}
	若 $-3$ 是质数， 则 $\forall{n}\in\mathbb{N}_+,2n\in{A}$ ， 且 $-3$ 为唯一的负质数
\end{quotation}

这个命题的逆否命题为：

\begin{quotation}
	若 $\exists{n_0}\in\mathbb{N}_+,2n_0\notin{A}$ ， 则 $-3$ 不是质数
\end{quotation}


当 $n_0=1$ 时， 若 $2\notin{A}$ ， 则 $-3$ 不是质数： 这是一个真命题， 所以该存在命题是真命题

由于原命题和其逆否命题具有等价关系， 所以原命题是真命题， 哥德巴赫猜想变式二正确

令 $2n=6k$ ， 则有 $6k\in{B}$ 或 $6k=-3+(6k+3)$,$(6k+3)\in\mathbb{P}$ 成立 。 显然 $6k+3=3(2k+1)\notin\mathbb{P}$ ， 从而有 $6k\in{B}$ 。

\paragraph{3}

同理可证 $\forall{n}\in\mathbb{N}_+$,$2n\in{B}$ 或 $2n=-5+(2n+5)$,$2n+5\in\mathbb{P}$ 成立 。 取 $2n=6k-2 $， 同理可得 $6k-2\in{B}$

%（编者注：mmp 实在写不下去了，就是把上面 -1 和 -3 换成 -5 而已）


\paragraph{4}
由于 $6k-2,6k,6k+2\in{B}$ 且 $k\in\mathbb{N}_+$ ， 故 $\forall{n}\in\mathbb{N}_+$ 且 $n\ge2$ ， $2n\in{B}$ ， 从而哥德巴赫猜想正确

\end{document}