벡터대수를 정리한다.
벡터는 크기와 방향을 포함하는 표현 도구이다. 예를 들어 힘 또는 속도를 벡터로 표현할 수 있다. 예를 들어 힘을 벡터로 표현하면 크기는 강도이고 방향은 곧 힘의 방향이다. 또한 속도를 벡터로 표현하면 크기는 속력이고 방향은 곧 속도의 방향이다.
만약 두 벡터가 데카르트 좌표계에서 시작위치는 달라도 방향과 크기가 같다면 두 벡터는 동일하다.
벡터 u, v, w 와 스칼라 k를 다음과 같이 정의한다.
u = (1, 2, 3), v = (1, 2, 3), w = (3, 0, -2), k = 2
u+v = u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}, u_{z} + v_{z}u + v = (1, 2, 3) + (1, 2, 3) = (2, 4, 6);
u-v = u +(-v) = u_{x} - v_{x}, u_{y} - v_{y}, u_{z} - v_{z}
u - v = u + (-v) = (1, 2, 3) + (-1, -2, -3) = (0, 0, 0)
ku = (ku_{x}, ku_{y}, ku_{z})
kw = 2(3, 0, -2) = (6, 0, -4);
스칼라는 크기만 있고 방향은 없는 값을 뜻한다. 일반적으로 우리가 사용하는 숫자들이 스칼라이다. 예를 들면 속도는 벡터이지만 속력은 방향이 없기 때문에 스칼라이다.
벡터를 표현하는 선분의 길이는 벡터의 크기이다. 절대값과 구분하기 위해 | 를 두개사용한다.
벡터 v가 n 개의 원소를 가지고 있으면 n 차원 벡터라고 한다. n 차원 벡터를 구성하는 원소는
v_{0}, v_{1},...,v_{n-1} 과 같이 나타낼 수 있다. n차원의 벡터 v의 크기를 구하는 공식은 다음과 같다.
||v|| = \sqrt{v_{0} + v_{1}^{2} ... v_{n}^{2}}
예를 들어 3차원의 벡터의 경우를 살펴보자. 다음과 같이 피타고라스의 정리를 2번 적용 하면 n 차원 벡터의 공식을 유도할 수 있다.
크기가 1인 벡터를 단위벡터라 하고 다음과 같이 표기한다.
단위 벡터는 벡터의 각 요소를 크기로 나눔으로서 구할 수 있다. 이 과정을 정규화(Normalize)라고 한다.
u = \frac{u}{||u||} = (\frac{x}{||u||},\frac{y}{||u||},\frac{z}{||u||})
벡터 v를 v = (-1, 3, 4) 라고 정의하고 단위벡터를 구해보자. 다음과 같이 구해보자.
벡터의 내적(dot product, inner product, scala product)은 두 벡터 각각의 크기와 사이각을 곱한 값이다.
벡터를 구하는 공식은 다음과 같이 두가지가 존재한다.
u\cdot v = u_{x}v_{x} + u_{y}v_{y} + u_{z}v_{z}
u \cdot v = ||u||||v||cos\theta
내적은 두벡터의 크기와 사이각의 코사인값이 모두 비례 관계라는 사실이 중요하다. 또한 내적의 값이 0이면 두 벡터가 수직임을 판단할 수 있다.
벡터의 외적(cross product, outer product)은 두 벡터와 수직인 벡터를 의미하고 외적을 구하는 공식은 다음과 같다.
w = u \times v = (u_{y}v_{Z} - u_{z}v_{y}, u_{z}v_{x} - u_{x}v_{z}, u_{x}v_{y} - u_{y}v_{x})
벡터의 외적은 내적과 달리 결과가 벡터이고 3차원 벡터에서만 존재한다.
예를 들어 두벡터를 u = (2, 1, 3), v = (2, 0, 0) 와 같이 정의하고 다음과 같이 구해보자.
위 벡터와 다른 두벡터는 수직 이기 때문에 내적의 결과는 0과 같다.
외적은 교환법칙이 성립하지 않는다.
원점을 시작으로 특정 점을 종점으로 하는 벡터를 위치벡터라고 한다. 점은
위치벡터로 표현할 수 있다. 점은 다른 벡터와 연산할 때 위치벡터로 표현된다.
다음은 점 p(x, y, z) 를 표현하는 위치벡터의 예이다.
벡터는 어디에 위치해 있던지 크기와 방향만 같다면 모두 같은 벡터로 취급한다. 즉, 벡터만으로는 위치라는 개념을 표현할 수 없다. 이를 극복하고자 고안된 것이 바로 아핀 공간이다.