Definition_of_a_Monoid.md

2.1 Definition of a Monoid

前面介绍了很多 相加 的例子，它们都包含：一个二元加操作 & 一个单位元，这就是一个 monoid，正经点讲，一个针对类型 A 的 monoid 是：

• 二元操作 combine，类型为 (A, A) => A
• 单位元 empty，类型为 A

转换为 Scala 代码为：

trait Monoid[A] {
  def combine(x: A, y: A): A
  def empty: A
}

除了定义中的 combine 和 empty 方法外，Monoid 还需要满足 2 个法则：

结合律

combine 必须满足结合律：

def associativeLaw[A](x: A, y: A, z: A)(implicit m: Monoid[A]): Boolean =
  m.combine(m.combine(x, y), z) == m.combine(x, m.combine(y, z))

单位元法则

empty 必须满足单位元法则：

def identityLaw[A](x: A)(implicit m: Monoid[A]): Boolean =
  m.combine(x, m.empty) == x && m.combine(m.empty, x) == x

实践中，只有实现自己的 Monoid instances 时才需要考虑上面的法则，而大多数场景中，我们可以直接使用 Cats 提供的 instances，这时由 Cats 的设计者负责其提供的 instances 满足以上法则。