From 7f4b150a38e2f1be6dada97a87e893b62bbde760 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: 45gfg9 Date: Sun, 20 Oct 2024 18:25:16 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?style:=20=E6=9B=B4=E6=AD=A3=E9=83=A8=E5=88=86?= =?UTF-8?q?=E6=A0=BC=E5=BC=8F=20(#99)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit * style: format * style: double dollar --- ... \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" | 96 +++++------ ...2\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" | 2 +- ...5\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" | 4 +- ...6\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" | 8 +- ...7\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" | 156 +++++++++--------- ...4\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" | 62 ++++--- ...7\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" | 8 +- ...7\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" | 4 +- 8 files changed, 170 insertions(+), 170 deletions(-) diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" index 1ff1dcf..3c7cb17 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" @@ -7,27 +7,27 @@ \section{导言} 行列式是线性代数中非常重要的工具，引入行列式这一概念的核心路线有两条，一条是从线性方程的判别式出发的，这是一条代数的路线，而另一条是从体积的变化出发的，这是一条几何的路线. 然而代数和几何之间很多时候是一体两面，从两条路线能够得到相同的结果，我们在导言中不会谈论行列式是什么，但是我们会先告诉读者它具有哪些性质并阐述它们的关系. 先看一看判别式的路线，我们不妨先回顾一下二次方程的判别式，二次方程中 -$$ +\[ ax^2 + bx + c = 0 -$$ +\] 经过化简得到了 -$$ +\[ \left(x- \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac1{4a^2}(b^2 - 4ac) = 0 -$$ +\] 于是我们有了\term{判别式（discriminant）} $\Delta = b^2 - 4ac$，当 $\Delta = 0$ 时意味着方程产生了重根. 或许你不知道的是三次方程 -$$ +\[ x^3+ax+b=0 -$$ +\] 也有判别式 $4a^3 + 27b^2$，它给出了三次方程重根的判据. 如果说 $b^2 - 4ac$ 给出了二次方程重根的判定条件，是圆锥曲线研究中不可或缺的多项式，$4a^3+27b^2$ 给出了三次方程重根的判定条件，贯穿椭圆曲线和相关的密码学，那么线性代数中它的对应物就是\term{行列式（determinant）}，而线性方程组的重根就意味着 $Ax=0$ 有不止 $0$ 这一个根，按照常识大多数情况下 $n$ 个方程能够解出 $n$ 个未知数，所以这里我们限制方程数量和未知数数量相等，即 $A$ 是方阵，这样的判别式我们记作 $\det A$. 由此可见，正如 $\Delta = 0$ 是一元多项式方程重根的标志，$\det A = 0$ 是线性方程组重根的标志，即解不唯一的标志，这等价于方阵不满秩，同时由于解不唯一，这也说明映射不可逆. 虽然从英文的单词形式上看，二者是较为相似的，但是中文上，``判别式''和``行列式''两个词看起来便完全没有关系了，然而我还是希望读者能够将它理解为一种线性方程组版本的``判别式''，我们这章的目的便是找出这样一种判别式. 下面再看体积变化的路线. 当我们考虑一个空间到自己的映射时，一个较为容易理解的与映射相关量是体积乘以的倍数，例如线性变换 -$$ +\[ \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \ddots \\ &&& \lambda_n \end{pmatrix} -$$ +\] 显然是将每个坐标轴拉长到了原来的 $\lambda_i$ 倍，体积变化的倍数便是 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$. 从直观上，线性变换使得每块区域的体积（实际上是 $n$ 维的体积）都会以相同的倍数变化，所以这样的一个与矩阵相关的量理应是存在的. 而且显然地应该满足矩阵复合的体积变化倍数等于体积变化倍数的乘积，即 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$，而我们之后严格定义行列式后也会证明这一点. 最方便的做法便是取定单位正方形，考虑变换后的几个向量形成的平行四边形面积（或者高维空间的对应物）： @@ -1608,17 +1608,17 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{theorem}{Cauchy-Binet 公式}{Cauchy-Binet 公式} 设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵. - $$ + \[ \begin{pmatrix} i_1 & \cdots & i_s \\ j_1 & \cdots & j_s \end{pmatrix} - $$ + \] 表示 $A$ 的一个 $s$ 阶子式，它由 $A$ 的第 $i_1, \cdots, i_s$ 行与第 $j_1, \cdots, j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式. 同理可定义 $B$ 的 $s$ 阶子式. \begin{enumerate} \item 若 $m > n$，则必有 $|AB| = 0$； \item 若 $m \leqslant n$，则必有 - $$ + \[ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ @@ -1629,37 +1629,37 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{pmatrix}. - $$ + \] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} 令 - $$ + \[ C = \begin{pmatrix} A & O \\ -I_n & B \end{pmatrix}. - $$ + \] 我们将用不同的方法来计算行列式 $|C|$. 首先，对 $C$ 进行第三类分块初等变换到矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & AB \\ -I_n & B \end{pmatrix}$. 事实上，$M$ 可写为 - $$ + \[ M = \begin{pmatrix} I_m & A \\ O & I_n \end{pmatrix} C, - $$ + \] 因此 $|M| = |C|$. 用 Laplace 定理来计算 $|M|$，按前 $m$ 行展开得 - $$ + \[ |M| = (-1)^{(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+m)} \cdot I_n ||AB| = (-1)^{n(m+1)} |AB|. - $$ + \] 再来计算 $|C|$，用 Laplace 定理按前 $m$ 行展开. 这时若 $m > n$，则前 $m$ 行中任意一个 $m$ 阶子式至少有一列全为零，因此行列式值等于零，即 $|AB| = 0$. 若 $m \leqslant n$，则由 Laplace 定理得 - $$ + \[ |C| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ @@ -1670,33 +1670,33 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} 1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m \end{pmatrix}, - $$ + \] 其中 $\hat{C} = A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m \end{pmatrix}$ 是矩阵 $C$ 中的代数余子式. 显然 - $$ + \[ \hat{C} = (-1)^{\frac{m(m+1) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)}{2}} \cdot | - e_{i_1}, - e_{i_2}, \cdots, - e_{i_{n-m}}, B |, - $$ + \] 其中 $i_1, i_2, \cdots, i_{n-m}$ 是 $C$ 前 $n$ 列去掉 $j_1, j_2, \cdots, j_m$ 列后余下的列序数. $e_{i_1}, e_{i_2}, \cdots, e_{i_{n-m}}$ 是相应的 $n$ 维标准单位向量（标准单位向量定义见习题 1）. 记 - $$ + \[ |N| = | - e_{i_1}, - e_{i_2}, \cdots, - e_{i_{n-m}}, B |. - $$ + \] 现在计算 $|N|$. 用 Laplace 定理按前 $n-m$ 列展开. 注意只有一个子式非零，其值等于 $| - I_{n-m}| = (-1)^{n-m}$. 而这个子式的余子式为 - $$ + \[ B \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{pmatrix}. - $$ + \] 因此 - $$ |N| = (-1)^{(n-m) + (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)} B + \[ |N| = (-1)^{(n-m) + (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)} B \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{pmatrix} - $$ + \] 注意到 $ (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m) = 1 + 2 + \cdots + n $.综合上面的结论，经过简单计算不难得到 - $$ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A + \[ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m @@ -1706,7 +1706,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{pmatrix}. - $$ + \] \end{proof} 下面的定理是 Cauchy-Binet 公式的进一步推广，它告诉我们如何求矩阵乘积的 $r$ 阶子式. @@ -1739,9 +1739,9 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{proof} 设 $C = AB$，则 $C = (c_{ij})$ 是 $m$ 阶矩阵且 - $$ c_{ij} = a_{i_1} b_{j_1} + a_{i_2} b_{j_2} + \cdots + a_{i_n} b_{j_n}. $$ + \[ c_{ij} = a_{i_1} b_{j_1} + a_{i_2} b_{j_2} + \cdots + a_{i_n} b_{j_n}. \] 因此 - $$ + \[ C \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ @@ -1760,20 +1760,20 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{j_1} & b_{j_2} & \cdots & b_{j_r} \end{vmatrix}. - $$ + \] 由 Cauchy-Binet 公式可知：$r > n$ 时，$C \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r \end{pmatrix} = 0$；当 $r \leqslant n$ 时， - $$ + \[ C \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r - \end{pmatrix} $$ - $$ =\sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A + \end{pmatrix} \] + \[ =\sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r @@ -1782,15 +1782,15 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r - \end{pmatrix}. $$ + \end{pmatrix}. \] \end{proof} 矩阵 $A$ 的子式 -$$ A +\[ A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r -\end{pmatrix} $$ +\end{pmatrix} \] 如果满足条件 $i_1 = j_1, i_2 = j_2, \cdots, i_r = j_r$，则称为主子式. \begin{corollary}{}{} @@ -1799,7 +1799,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{proof} 若 $r \leqslant n$，则由 \autoref{thm:Cauchy-Binet 公式推广} 得到： - $$ AA\mathrm{T} + \[ AA\mathrm{T} \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r @@ -1808,7 +1808,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r - \end{pmatrix}^2 \geqslant 0; $$ + \end{pmatrix}^2 \geqslant 0; \] 若 $r > n$，则 $AA^\mathrm{T}$ 的任一 $r$ 阶主子式等于零，结论也成立. \end{proof} @@ -1816,18 +1816,18 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} \begin{example}{}{} 证明 Lagrange 恒等式 $(n \geqslant 2)$： - $$ \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. $$ + \[ \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. \] \end{example} \begin{solution} 左边的式子等于 - $$ \begin{vmatrix} + \[ \begin{vmatrix} \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\ \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 - \end{vmatrix}, $$ + \end{vmatrix}, \] 这个行列式对应的矩阵可化为： - $$ \begin{pmatrix} + \[ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{pmatrix} @@ -1836,10 +1836,10 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n - \end{pmatrix}. $$ + \end{pmatrix}. \] 用 Cauchy-Binet 公式得 - $$ + \[ \begin{vmatrix} \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\ \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 @@ -1850,7 +1850,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式} b_i & b_j \end{vmatrix}^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. - $$ + \] \end{solution} \section{伴随矩阵} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" index 60c9c16..7cc6e61 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" @@ -708,7 +708,7 @@ \subsection{特征向量的基本性质} 这一部分的定理与下一讲中得到简单矩阵的可对角化的等价条件直接相关，实际上有了本节的定理，可对角化条件是很显然的. \begin{theorem}{}{特征向量的基本性质} - 设$V$是有限维的，$\sigma\in L(V)$且$\lambda\in\mathbf{F}$，则 + 设$V$是有限维的，$\sigma\in \mathcal{L}(V)$且$\lambda\in\mathbf{F}$，则 \begin{enumerate} \item $\sigma$的不同特征值对应的特征向量线性无关； diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" index 1bf82be..b3a8bac 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" @@ -906,7 +906,7 @@ \subsection{平方根问题} 则$0$是$\sigma$仅有的特征值，但$\sigma^3=-\sigma\neq 0$，$\sigma$不为幂零线性变换. \end{solution} \begin{example}{}{} - 找出一个$\sigma\in L(\mathbf{R}^2)$使得$\sigma^4=-I$. + 找出一个$\sigma\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^2)$使得$\sigma^4=-I$. \end{example} \begin{solution} 从旋转的角度考虑可以得到$\sigma(x,y)=(x,y)\cdot$ @@ -918,7 +918,7 @@ \subsection{平方根问题} \end{solution} \item 考虑简单的情况：例如考虑2阶、3阶的简单线性变换/矩阵 \begin{example}{}{} - 证明或给出反例：$V$上的幂零线性变换的集合是$L(V)$的子空间. + 证明或给出反例：$V$上的幂零线性变换的集合是$\mathcal{L}(V)$的子空间. \end{example} \begin{solution} 反例：$V=\mathbf{R}^2,\sigma,\tau$在自然基下的矩阵分别为 diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" index 1813192..3f37e8a 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" @@ -372,7 +372,7 @@ \section{多元函数微分学} 所以 $\varphi$ 是一个压缩映射，因此 $\varphi$ 有唯一的不动点，即存在唯一的 $x_*\in \mathbf{R}^n$ 使得 $x_* = Ax_* + v$，即 $(I_n - A)x_* = v$，所以 $I_n - A$ 为单射，即可逆. -对于恒同映射 $I_n$ 来讲，范数小于 $1$ 的映射相对于它是一个\term{微小扰动}，上面的例子告诉我们，对于一个像恒同映射这样的可逆映射施加一个微小扰动得到的映射是可逆的. 在一般的向量值函数中，微小扰动的例子丰富极了，因为每一个在某一点 $x_0$ 可微的向量值函数在该点都可以将其线性化，也就是分解成 $L(x - x_0) + o(\Vert x - x_0\Vert)$，将后一项视作微小扰动 $\varepsilon(x - x_0)$ ，所以我们可以猜测：如果向量值函数的微分在某一点 $x_0$ 可逆，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 与 $y_0 = f(x_0)$ 的邻域 $V$ 使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的. 不过我们需要对这个函数添加一定的可微性条件. 一个向量值函数是 $C^k$ 的是指其每个分量都是一个 $k$ 次连续可微函数. 这就是\term{反函数定理}的内容. +对于恒同映射 $I_n$ 来讲，范数小于 $1$ 的映射相对于它是一个\textbf{微小扰动}，上面的例子告诉我们，对于一个像恒同映射这样的可逆映射施加一个微小扰动得到的映射是可逆的. 在一般的向量值函数中，微小扰动的例子丰富极了，因为每一个在某一点 $x_0$ 可微的向量值函数在该点都可以将其线性化，也就是分解成 $L(x - x_0) + o(\Vert x - x_0\Vert)$，将后一项视作微小扰动 $\varepsilon(x - x_0)$ ，所以我们可以猜测：如果向量值函数的微分在某一点 $x_0$ 可逆，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 与 $y_0 = f(x_0)$ 的邻域 $V$ 使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的. 不过我们需要对这个函数添加一定的可微性条件. 一个向量值函数是 $C^k$ 的是指其每个分量都是一个 $k$ 次连续可微函数. 这就是\term{反函数定理}的内容. \begin{theorem}{反函数定理}{} 设 $D\subset \mathbf{R}^n$ 为开集，$f\colon D\to\mathbf{R}^n$ 为 $C^{k}$ 的映射 $(k\geqslant 1)$，$x_0\in D$. 如果 $\det Jf(x_0)\neq 0$，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U\subset D$ 与 $f(x_0)$ 的邻域 $V\subset D$，使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的，并且其逆也是 $C^k$ 的. @@ -601,9 +601,9 @@ \section{积分学} \begin{tikzpicture}[scale=2] \draw (0, 0) grid (2, 2); \foreach \i in {0.5, 1.5} - \foreach \j in {0.5, 1.5} - \draw[fill=gray!50] (\i, \j) circle (0.5) - \foreach \k in {45, 135, 225, 315} {($(\i, \j) + (\k:{sqrt(2)/(sqrt(2)+1)})$) circle ({(sqrt(2)-1)/(2+2*sqrt(2))})}; + \foreach \j in {0.5, 1.5} + \draw[fill=gray!50] (\i, \j) circle (0.5) + \foreach \k in {45, 135, 225, 315} {($(\i, \j) + (\k:{sqrt(2)/(sqrt(2)+1)})$) circle ({(sqrt(2)-1)/(2+2*sqrt(2))})}; \end{tikzpicture} \caption{第二覆盖引理} \end{figure} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" index dac11c5..a6ea7aa 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" @@ -110,85 +110,83 @@ \subsection{线性相关性的定理} \item 从齐次线性方程组看 \begin{example}{}{} - 判断 $\mathbf{R}^3$ 中向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 和 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 的线性相关性, 其中 - - \[ - \alpha_1 = (1, 1, 0), \quad \alpha_2 = (0, 1, 1), \quad \alpha_3 = (1, 0, -1), - \] - \[ - \beta_1 = (1, -3, 1), \quad \beta_2 = (-1, 2, -2), \quad \beta_3 = (1, 1, 3). - \] + 判断 $\mathbf{R}^3$ 中向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 和 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 的线性相关性, 其中 + + \[ + \alpha_1 = (1, 1, 0), \quad \alpha_2 = (0, 1, 1), \quad \alpha_3 = (1, 0, -1), + \] + \[ + \beta_1 = (1, -3, 1), \quad \beta_2 = (-1, 2, -2), \quad \beta_3 = (1, 1, 3). + \] \end{example} \begin{solution} - 容易看出, $\alpha_3 = \alpha_1 - \alpha_2$, 所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关. 但对 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 不易看出是否有线性关系, 要按定义来判别. 设 - - \[ - x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + x_3 \beta_3 = 0, \tag{1} - \] + 容易看出, $\alpha_3 = \alpha_1 - \alpha_2$, 所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关. 但对 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 不易看出是否有线性关系, 要按定义来判别. 设 - 即 + \begin{equation} \label{eq:线性相关性:1} + x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + x_3 \beta_3 = 0 + \end{equation} - \[ - x_1(1, -3, 1) + x_2(-1, 2, -2) + x_3(1, 1, 3) = (0, 0, 0). - \] + 即 - 这个向量方程等价于以下的三个元线性齐次方程组: + \[ + x_1(1, -3, 1) + x_2(-1, 2, -2) + x_3(1, 1, 3) = (0, 0, 0). + \] - \[ - \begin{cases} - x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ - -3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ - x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 - \end{cases}, - \] + 这个向量方程等价于以下的三个元线性齐次方程组: - 容易解得这个方程组只有零解 $x_1 = x_2 = x_3 = 0$. 即只有全为零的 $x_1, x_2, x_3$ 才使得 (1) 成立, 故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关. + \[ + \begin{cases} + x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ + -3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ + x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 + \end{cases}, + \] - 一般若 $\beta_1 = (a_1, b_1, c_1), \beta_2 = (a_2, b_2, c_2), \beta_3 = (a_3, b_3, c_3)$, 则 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关（线性无关）的充要条件是三元线性齐次方程组 + 容易解得这个方程组只有零解 $x_1 = x_2 = x_3 = 0$. 即只有全为零的 $x_1, x_2, x_3$ 才使得\autoref{eq:线性相关性:1} 成立, 故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关. - \[ - \begin{cases} - a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0 \\ - b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0 \\ - c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = 0 - \end{cases} - \] + 一般若 $\beta_1 = (a_1, b_1, c_1), \beta_2 = (a_2, b_2, c_2), \beta_3 = (a_3, b_3, c_3)$, 则 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关（线性无关）的充要条件是三元线性齐次方程组 - 有非零解（只有零解）. 用此法可得 $\mathbf{R}^n$ 中任何 4 个向量, $\mathbf{R}^n$ 中任何 $n + 1$ 个向量都线性相关. + \[ + \begin{cases} + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0 \\ + b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0 \\ + c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = 0 + \end{cases} + \] + 有非零解（只有零解）. 用此法可得 $\mathbf{R}^n$ 中任何 4 个向量, $\mathbf{R}^n$ 中任何 $n + 1$ 个向量都线性相关. - 总的来说，我们有以下结论： + 总的来说，我们有以下结论： - 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$有非零解; + 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$有非零解; - 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$只有零解. - \end{solution} + 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$只有零解. + \end{solution} \item 从向量组与它的部分组的关系看 \begin{example}{}{} - 如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关，则其任意子集也线性无关，如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关，则其任意包含它的向量组也线性相关. + 如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关，则其任意子集也线性无关，如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关，则其任意包含它的向量组也线性相关. \end{example} \begin{proof} - 我们先证明前者，不失一般性，设子集为 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$, 其中 $1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant n$, 若存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 使得 + 我们先证明前者，不失一般性，设子集为 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$, 其中 $1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant n$, 若存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 使得 - \[ - \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} = 0, - \] + \[ + \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} = 0, + \] - 则将上式扩充为 + 则将上式扩充为 - \[ - \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} + 0 \alpha_{i_{k+1}} + \cdots + 0 \alpha_{i_n} = 0, - \] + \[ + \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} + 0 \alpha_{i_{k+1}} + \cdots + 0 \alpha_{i_n} = 0, + \] + 其中 $\lambda_{k+1} = \lambda_{k+2} = \cdots = \lambda_n = 0$, 且 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 不全为零，（即将不在子集中的其它元素以$0$作为系数加到方程中，这样就找到了一个满足线性相关定义的式子）这与 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关矛盾. 故 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$ 线性无关. - 其中 $\lambda_{k+1} = \lambda_{k+2} = \cdots = \lambda_n = 0$, 且 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 不全为零，（即将不在子集中的其它元素以$0$作为系数加到方程中，这样就找到了一个满足线性相关定义的式子）这与 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关矛盾. 故 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$ 线性无关. + 相同的方法证明后者，设 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关，则存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 使得 - 相同的方法证明后者，设 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关，则存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 使得 + \[ + \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_n \alpha_n = 0, + \] - \[ - \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_n \alpha_n = 0, - \] - - 则对于任意包含它的向量组,我们也可以将多出来的向量系数取$0$,这样就找到了一个满足线性相关定义的式子,因此包含它的向量组也线性相关. + 则对于任意包含它的向量组,我们也可以将多出来的向量系数取$0$,这样就找到了一个满足线性相关定义的式子,因此包含它的向量组也线性相关. \end{proof} 如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关； @@ -510,11 +508,11 @@ \subsection{极大线性无关组的求法} 我们只证明倍加变换的性质，其余两种变换的性质留作习题. 设矩阵为 \[\begin{pmatrix} - a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ - a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} - \end{pmatrix}\] + a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ + a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} + \end{pmatrix}\] 对其进行倍加变换，即将第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行上，即第 $j$ 行变为 $a_{j1} + ka_{i1}, a_{j2} + ka_{i2}, \ldots, a_{jn} + ka_{in}$. 记原先的列向量为 $S_A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$，新的列向量为 $S_B = \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\}$. @@ -529,33 +527,37 @@ \subsection{极大线性无关组的求法} \begin{example}{}{} 已知 $\mathbf{R}^4$ 的一个子集 $S = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$, 其中 \[ - a_1 = (1,1,0,1), \quad a_2 = (0,1,2,4), \quad - a_3 = (2,1,-2,2), \quad a_4 = (0,1,1,1). + a_1 = (1,1,0,1), \quad a_2 = (0,1,2,4), \quad + a_3 = (2,1,-2,2), \quad a_4 = (0,1,1,1). \] 试求 $\spa(S)$ 的维数及其一组基$B$。 \end{example} \begin{solution} -显然这一问题的关键就是求出 $S$ 的一组极大线性无关组，因为 $S$ 的任一极大线性无关组 $B$ 都是 $\spa(S)$ 的基. 为了达到这一目标，我们首先将四个向量按列排成矩阵，即 + 显然这一问题的关键就是求出 $S$ 的一组极大线性无关组，因为 $S$ 的任一极大线性无关组 $B$ 都是 $\spa(S)$ 的基. 为了达到这一目标，我们首先将四个向量按列排成矩阵，即 -\[\begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 0 & 2 & -2 & 1 \\ - 1 & 4 & -2 & 1 -\end{pmatrix} \tag{1}\] + \begin{equation} \label{eq:极大线性无关组:1} + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 2 & 0 \\ + 1 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 2 & -2 & 1 \\ + 1 & 4 & -2 & 1 + \end{pmatrix} + \end{equation} -对上述矩阵作初等行变换，所得的阶梯矩阵为 + 对上述矩阵作初等行变换，所得的阶梯矩阵为 -\[\begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 & 0 \\ - 0 & 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 & 1 \\ - 0 & 0 & 0 & 0 -\end{pmatrix} \tag{2}\] + \begin{equation} \label{eq:极大线性无关组:2} + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 2 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \end{equation} -根据上面的引理，我们知道矩阵（1）中的列的线性相关性与矩阵（2）中的列的线性相关性是一致的，而（2）中的经过初等变换的线性相关关系非常容易看出来：我们直接找每一行第一个非零元素所在的列对应的向量即可得到极大线性无关组，即 $S$ 的一个极大线性无关组为 $\{a_1, a_2, a_4\}$. 故 $a_1, a_2, a_4$ 是 $L(S)$ 的一组基，$L(S)$ 的维数为 3. + 根据上面的引理，我们知道矩阵 \eqref{eq:极大线性无关组:1} 中的列的线性相关性与矩阵 \eqref{eq:极大线性无关组:2} 中的列的线性相关性是一致的，而 \eqref{eq:极大线性无关组:2} 中的经过初等变换的线性相关关系非常容易看出来：我们直接找每一行第一个非零元素所在的列对应的向量即可得到极大线性无关组，即 $S$ 的一个极大线性无关组为 $\{a_1, a_2, a_4\}$. 故 $a_1, a_2, a_4$ 是 $\spa(S)$ 的一组基，$\spa(S)$ 的维数为 3. \end{solution} 我们总结以上方法的关键步骤，抽象出一般的极大线性无关组的求法： diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" index 38a0d0c..1cb9825 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" @@ -49,48 +49,46 @@ \section{线性空间的交、并、和} 我们从子空间的定义出发证明这一定理. 即验证 $W_1 \cap W_2$ 满足子空间的三个条件： - \begin{itemize} \item - 由于 $W_1, W_2$ 都是 $V$ 的子空间，零向量 $\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$. 因此，$\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2$. + 由于 $W_1, W_2$ 都是 $V$ 的子空间，零向量 $\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$. 因此，$\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2$. \item - 对于任意的 $x, y \in W_1 \cap W_2$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$，$y \in W_1$ 且 $y \in W_2$. - 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $x + y \in W_1$ 且 $x + y \in W_2$. - 因此，$x + y \in W_1 \cap W_2$. + 对于任意的 $x, y \in W_1 \cap W_2$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$，$y \in W_1$ 且 $y \in W_2$. + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $x + y \in W_1$ 且 $x + y \in W_2$. + 因此，$x + y \in W_1 \cap W_2$. \item - 对于任意的 $x \in W_1 \cap W_2$ 和任意的标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$. - 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda x \in W_2$. - 因此，$\lambda x \in W_1 \cap W_2$. + 对于任意的 $x \in W_1 \cap W_2$ 和任意的标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$. + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda x \in W_2$. + 因此，$\lambda x \in W_1 \cap W_2$. \end{itemize} 所以 $W_1 \cap W_2$ 是 $V$ 的子空间. - 下证$W_1 + W_2$ 是 $V$ 的子空间: \begin{itemize} \item - 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$. - 因此，$\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} \in W_1 + W_2$. + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$. + 因此，$\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} \in W_1 + W_2$. \item - 对于任意的 $u_1, u_2 \in W_1 + W_2$，存在 $x_1, x_2 \in W_1$ 和 $y_1, y_2 \in W_2$，使得 $u_1 = x_1 + y_1$，$u_2 = x_2 + y_2$. - 则 - $$ - u_1 + u_2 = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2). - $$ - 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$x_1 + x_2 \in W_1$ 且 $y_1 + y_2 \in W_2$， - 因此，$u_1 + u_2 \in W_1 + W_2$. + 对于任意的 $u_1, u_2 \in W_1 + W_2$，存在 $x_1, x_2 \in W_1$ 和 $y_1, y_2 \in W_2$，使得 $u_1 = x_1 + y_1$，$u_2 = x_2 + y_2$. + 则 + \[ + u_1 + u_2 = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2). + \] + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$x_1 + x_2 \in W_1$ 且 $y_1 + y_2 \in W_2$， + 因此，$u_1 + u_2 \in W_1 + W_2$. \item - 对于任意的 $u \in W_1 + W_2$ 和标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，存在 $x \in W_1$ 和 $y \in W_2$，使得 $u = x + y$. - 则 - $$ - \lambda u = \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y. - $$ - 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda y \in W_2$， - 因此，$\lambda u \in W_1 + W_2$. + 对于任意的 $u \in W_1 + W_2$ 和标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，存在 $x \in W_1$ 和 $y \in W_2$，使得 $u = x + y$. + 则 + \[ + \lambda u = \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y. + \] + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda y \in W_2$， + 因此，$\lambda u \in W_1 + W_2$. \end{itemize} 因此，$W_1 + W_2$ 也是 $V$ 的子空间. @@ -191,7 +189,7 @@ \section{覆盖定理} \end{enumerate} \end{proof} -本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}.我们已经在本章习题A组最后两题为读者准备了覆盖定理的直接证明的题目，下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： +本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}. 我们已经在本章习题A组最后两题为读者准备了覆盖定理的直接证明的题目，下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： \begin{example}{}{} $V_1,V_2,\ldots,V_s$是线性空间$V$的$s$个非平凡子空间，证明：存在$V$的一组基$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$都不在$V_1,V_2,\ldots,V_s$中. \end{example} @@ -260,9 +258,9 @@ \section{线性空间的直和} 上述命题等价，只需证明 (1) $\implies$ (2) $\implies$ (3) $\implies$ (4) $\implies$ (1). \begin{enumerate} \item 先证 (1) $\implies$ (2): 设 $W_1 + W_2$ 中的 $\alpha$ 有两个分解式 - $$ - \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = \beta_1 + \beta_2, \quad \alpha_1, \beta_1 \in W_1, \ \alpha_2, \beta_2 \in W_2, - $$ + \[ + \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = \beta_1 + \beta_2, \quad \alpha_1, \beta_1 \in W_1, \enspace \alpha_2, \beta_2 \in W_2, + \] 则 $\alpha_1 - \beta_1 = \beta_2 - \alpha_2 \in W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$，于是得 $\beta_1 = \alpha_1, \beta_2 = \alpha_2$，故 $\alpha$ 的分解式是唯一的. \item 其次证 (2) $\implies$ (3): 由 $W_1 + W_2$ 中零向量的分解式唯一性以及 $\vec{0} = \vec{0} + \vec{0}$，立即得命题 (3) 成立. \item 再证 (3) $\implies$ (4): 由命题 (3) 可推出 $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$，因为若 $W_1 \cap W_2 \ne \{\mathbf{0}\}$，则存在 $\vec{0} \ne a \in W_1 \cap W_2$，使得 $\vec{0} = \alpha + (-\alpha)$，（其中 $\alpha \in W_1, -\alpha \in W_2$），这与命题 (3) 相矛盾. 再根据维数公式 就得命题 (4). @@ -634,12 +632,12 @@ \subsection{仿射子集与商空间} \end{answer} - \item 设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个非平凡子空间，证明: $\exists \alpha \in V$,使得$\alpha \notin V_1$ 且 $\alpha \notin V_2$.并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. + \item 设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个非平凡子空间，证明: $\exists \alpha \in V$,使得$\alpha \notin V_1$ 且 $\alpha \notin V_2$. 并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. \begin{answer} \textbf{证:} 因为 $V_1, V_2$ 是非平凡子空间, 所以存在 $\alpha \notin V_1$. 若 $\alpha \notin V_2$, 则命题得证；若 $\alpha \in V_2$, 另有 $\beta \notin V_2$, 此时若 $\beta \notin V_1$, 命题也得证. 设 $\beta \in V_1$, 则 $\alpha \notin V_1, \alpha \in V_2, \beta \in V_1, \beta \notin V_2$. 考虑 $\alpha + \beta \in V_1$, 由 $\beta \in V_1 \implies \alpha \in V_1$, 从而得出矛盾, 所以 $\alpha + \beta \notin V_1$. 类似可证 $\alpha + \beta \notin V_2$. 于是命题成立. \end{answer} - \item 设 $V_1,\ldots,V_m (m > 2)$ 是线性空间$V$的$m$个非平凡子空间，证明：$V$ 中存在一个同时不属于任何一个$V_i(1 \leqslant i \leqslant m)$的向量.并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. + \item 设 $V_1,\ldots,V_m (m > 2)$ 是线性空间$V$的$m$个非平凡子空间，证明：$V$ 中存在一个同时不属于任何一个$V_i(1 \leqslant i \leqslant m)$的向量. 并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. \begin{answer}\label{eg:4:A:5} \textbf{证:} （归纳法）当 $r=2$ 时由上题知成立. 假设 $r = k-1$ 时也成立, 即存在 $\alpha \in V$ @@ -770,7 +768,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间} \end{answer} - \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）. + \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）. \begin{answer} 设$A,B$为$V$的仿射子集,若$A,B$交于一点$v$,则令$\{0\}$为子空间，此时$A \cap B = v+\{0\} $,仍然是子空间，若至少有两点$u,v \in A \cap B$,则$ \forall u,v \in A \cap B$,我们 \begin{align*} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" index 283cba8..5ad922b 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" @@ -358,7 +358,7 @@ \subsection{线性映射的基本运算} \[ \sigma^{-1} \circ \sigma = I_{V_1}, \quad \text{且} \quad \sigma \circ \sigma^{-1} = I_{V_2}, \] - 于是对于$ \forall \ \beta_1,\beta_2 \in V_2$和任意的标量 $\lambda_1, \lambda_2 \in F$，有 + 于是对于$ \forall \beta_1,\beta_2 \in V_2$和任意的标量 $\lambda_1, \lambda_2 \in F$，有 \begin{align*} \sigma^{-1}(\lambda_1 \beta_1 + \lambda_2 \beta_2) & = \sigma^{-1}\left[ \lambda_1(\sigma \sigma^{-1})(\beta_1)+\lambda_2(\sigma \sigma^{-1})(\beta_2)\right] \\ &= \sigma^{-1}(\lambda_1 \sigma(\sigma^{-1}(\beta_1)) + \lambda_2 \sigma(\sigma^{-1}(\beta_2))) \\ @@ -1338,8 +1338,8 @@ \subsection{自然同构} \label{subsec:自然同构} \begin{answer} \begin{enumerate} \item 证明略,根据定义直接套即可 - 设$$f(x)=ax^2+bx+c,f(1)=0\Rightarrow a+b+c=0$$解得$$(a,b,c)=k_1(1,0,-1)+k_2(0,1,-1)$$\\ - 故$$W=\spa \{x^2-1,x-1\},\dim W=2$$. + 设\[f(x)=ax^2+bx+c,f(1)=0\Rightarrow a+b+c=0\]解得\[(a,b,c)=k_1(1,0,-1)+k_2(0,1,-1)\]\\ + 故\[W=\spa \{x^2-1,x-1\},\dim W=2\]. \item 证明仍然是根据线性映射的定义验证即可，此处略去；$\ker T$即为第一问的W,$\im T$=$\spa\{1\}$. \item 由于二维线性空间任意三个向量线性相关，$f,g,h \in W$ 故线性相关. \end{enumerate} @@ -1477,7 +1477,7 @@ \subsection{自然同构} \label{subsec:自然同构} \[ \sigma(\alpha_1) = -2 \sigma(\sigma_2) + \sigma(\alpha_3) = \sigma(-2 \alpha_2 + \alpha_3) \] 同构映射 $ \sigma $ 可逆. 所以 \[ \alpha_1 = -2 \alpha_2 + \alpha_3 \in \spa(\alpha_2, \alpha_3) \] - \item 对于注意力惊人的同学，直接观察当然可得答案；如果没什么思路，我们可以先从定义入手; + \item 对于注意力惊人的同学，直接观察当然可得答案；如果没什么思路，我们可以先从定义入手； 由于同构是将基映射到基的，我们可以将对于$\alpha$的操作看做对于其像的操作，为了方便，在这里直接用 $a$ 来代替$\alpha$的像，若 $\beta \in W_1\cap W_2$，则 \[ \beta = x_1 a_1+x_2 a_2=x'_3 a_3+x'_4 a_4 \implies x_1 a_1+x_2 a_2-x'_3 a_3-x'_4 a_4 = 0 \] 改写$x'_3,x'_4$为$x_3,x_4$，则转换为 diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23014 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23014 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" index a743cc3..4181183 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23014 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23014 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" @@ -1,8 +1,8 @@ \LUchapter{范畴论视角下的线性代数} -% 关于代数学的历史，最值得一读的文献大概是 J. Derbyshire 的 \emph{Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra}.这本书的写作风格轻松明快，不难卒读，其中历数的历史，笔者在此不再赘述. 而由于现代代数学卷帙浩繁，难以尽数，而且其中的大部分主题也远超笔者心力之所能及，在这里，仅仅就一些主要趋势泛泛而谈，有识见的读者可以自行翻阅文献，不必为笔者为方便理解所作的简化以及本身不完整的理解所累. +% 关于代数学的历史，最值得一读的文献大概是 J. Derbyshire 的 \emph{Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra}. 这本书的写作风格轻松明快，不难卒读，其中历数的历史，笔者在此不再赘述. 而由于现代代数学卷帙浩繁，难以尽数，而且其中的大部分主题也远超笔者心力之所能及，在这里，仅仅就一些主要趋势泛泛而谈，有识见的读者可以自行翻阅文献，不必为笔者为方便理解所作的简化以及本身不完整的理解所累. -% 按照笔者的思路，我们将首先正式引入范畴论.在范畴论的框架下，接下来我们要考虑的是代数与拓扑之间的联系，这会将我们引向两个截然不同的方向：同伦论（homotopy theory）和凝聚态数学（condensed mathematics）.前者相较后者历史较为悠久，正好够我们历数从 1950s 到现代的一些发展；后者则方兴未艾，可供读者一窥当代数学家的风貌. 至于一些未被纳入此框架的探讨和研究，代数数论将作为最后的讨论的切入口.还有一些剩下的，例如群论、环论、表示论等主题的发展，则只能付之阙如了. +% 按照笔者的思路，我们将首先正式引入范畴论. 在范畴论的框架下，接下来我们要考虑的是代数与拓扑之间的联系，这会将我们引向两个截然不同的方向：同伦论（homotopy theory）和凝聚态数学（condensed mathematics）. 前者相较后者历史较为悠久，正好够我们历数从 1950s 到现代的一些发展；后者则方兴未艾，可供读者一窥当代数学家的风貌. 至于一些未被纳入此框架的探讨和研究，代数数论将作为最后的讨论的切入口. 还有一些剩下的，例如群论、环论、表示论等主题的发展，则只能付之阙如了. % 当然，还有一个被遗落的庞大的专题，就是在 Derbyshire 的书中开了个头的代数几何. 这一部分的探讨笔者无力完成，只能在此稍作提示——不过，在同伦论的部分中，我们也会见到其中的许多重要人物. 这个专题几乎是当代数学的前沿核心，但也正因为其核心地位，对它所作的任何不由杰出人物写下的讨论都显得有些不足，而且其研究所需的前置知识也远非本书所能及. 因此，在此我们只能无奈将其抛下，这并非轻视其重要性的表现.