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习题参考答案/专题/1 预备知识.tex

@@ -40,7 +40,7 @@ \section*{1 预备知识}
                   0 & 0 & 0  & 0 & 0
               \end{pmatrix}.
           \end{align*}
-          令 $ x_3 = k_1, x_4 = k_2, x_5 = k_3$，有 $x_1 = -2k_1 - k_2 + 2k_3,\enspace\allowbreak x_2 = k_1 + -3k_2 + k_3 $，则
+          令 $ x_3 = k_1, x_4 = k_2, x_5 = k_3$，有 $x_1 = -2k_1 - k_2 + 2k_3,\enspace\allowbreak x_2 = k_1 - 3k_2 + k_3 $，则
           \[ X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^\mathrm{T} = k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad k_1, k_2, k_3 \in \mathbf{R} \]
 
     \item \begin{align*}
@@ -68,13 +68,13 @@ \section*{1 预备知识}
               \rightarrow
               \begin{pmatrix}
                   1 & 0 & 0 & -4 & 5 & 4  \\
-                  0 & 1 & 0 & -4 & 2 & 1  \\
+                  0 & 1 & 0 & -4 & 2 & -1  \\
                   0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -2 \\
                   0 & 0 & 0 & 0  & 0 & 0
               \end{pmatrix}.
           \end{align*}
-          令 $ x_4 = k_1, x_5 = k_2, x_6 = k_3$，有 $x_1 = 4k_1 - 5k_2 - 4k_3,\enspace\allowbreak x_2 = 4k_1 - 2k_2 + k_3,\enspace\allowbreak x_3 = k_1 + 2k_3 $，则
-          \[ X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)^\mathrm{T} = k_1 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad k_1, k_2, k_3 \in \mathbf{R} \]
+          令 $ x_4 = k_1, x_5 = k_2 $，有 $x_1 = 4k_1 - 5k_2 + 4,\enspace\allowbreak x_2 = 4k_1 - 2k_2 - 1,\enspace\allowbreak x_3 = k_1 -2 $，则
+          \[ X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^\mathrm{T} = k_1 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad k_1, k_2 \in \mathbf{R} \]
 
     \item 见教材P33例3. 无解.
 \end{enumerate}

讲义/专题/1 预备知识.tex

@@ -172,7 +172,7 @@ \section{复数域的引入}
     由此可见$\vec{u}\circ\vec{v}=\vec{v}\circ\vec{u}$，因此乘法满足交换律. 同时可知，要定义乘法，关键是定义$\vec{e}_2\circ\vec{e}_2$的值.
 
     记$\vec{e}_2\circ\vec{e}_2=(x,y)$，由长度可乘性知$x^2+y^2=1$，另一方面
-    \[(\vec{e}_1+\vec{e}_2)\circ(\vec{e}_1-\vec{e}_2)=\vec{e}_1-\vec{e}_2\circ\vec{e}_2=(1-x,y).\]
+    \[(\vec{e}_1+\vec{e}_2)\circ(\vec{e}_1-\vec{e}_2)=\vec{e}_1-\vec{e}_2\circ\vec{e}_2=(1-x,-y).\]
     由$|\vec{e}_1+\vec{e}_2|=|\vec{e}_1-\vec{e}_2|=\sqrt{2}$以及长度可乘性可得
     \[4=|(\vec{e}_1+\vec{e}_2)\circ(\vec{e}_1-\vec{e}_2)|^2=(1-x)^2+y^2.\]
     由此求出$x=-1,\enspace y=0$. 这说明

讲义/其它/未竟专题1 预备思想.tex

@@ -440,7 +440,7 @@ \subsection{布尔巴基学派}
 
 我们无需明白上面的定义在表达什么，但至少它与我们日常科普中见到的``拓扑''一词从直观上看相去甚远，但事实上基于此我们可以得到更为本质的``连续性''概念——开集的原像是开集，这与数学分析中学习的一元函数连续性是一致的，我们也可以得到数学家笑话``拓扑学家分不清咖啡杯和甜甜圈''，得到连通性、紧致性、同伦等概念，这些概念在数学中有着重要的地位. 但是我们在这里不打算深入讨论拓扑学的内容，而是想通过这个例子说明，布尔巴基公理化的思想是如何在数学中发挥作用的.
 
-布尔巴基著有九卷本，超过七千多页的《数学原本》，这是有史以来最大的数学巨著. 彻底追求严格性和一般性的叙述方法被称为``布尔巴基风格''. 最后的第9卷谱理论执笔始于1983年，出版工程至此告终. 只是在20世纪末，增补了交换代数的簇理论. 布尔巴基对严谨性的强调在当时产生了很大的影响. 这与当时昂利·庞加莱（Henry Poincar\'e）所强调的数学要依靠自由想像的数学直观的说法分庭抗礼. 布尔巴基的影响力随时间而减弱，一个原因是由于布尔巴基的抽象并不显得比发明者原初的想法更为有用，另一个原因是因为没有包含像范畴论等重要的现代数学理论. 尽管范畴论是由布尔巴基的成员艾伦堡（Samuel Eilenberg）所创立，格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）所推广的，但是如果要容纳范畴论，就不得不对已经出版的著作进行根本性的改写.
+布尔巴基著有九卷本，超过七千多页的《数学原本》，这是有史以来最大的数学巨著. 彻底追求严格性和一般性的叙述方法被称为``布尔巴基风格''. 最后的第9卷谱理论执笔始于1983年，出版工程至此告终. 只是在20世纪末，增补了交换代数的簇理论. 布尔巴基对严谨性的强调在当时产生了很大的影响. 这与当时昂利·庞加莱（Henry Poincar\'e）所强调的数学要依靠自由想像的数学直观的说法分庭抗礼. 布尔巴基的影响力随时间而减弱，一个原因是布尔巴基的抽象并不显得比发明者原初的想法更为有用，另一个原因是没有包含像范畴论等重要的现代数学理论. 尽管范畴论是由布尔巴基的成员艾伦堡（Samuel Eilenberg）所创立，格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）所推广的，但是如果要容纳范畴论，就不得不对已经出版的著作进行根本性的改写.
 
 布尔巴基在数学史上还承担了类似于``大一统''的工作，他们引入的记号有：$\varnothing$，代表空集；黑板粗体字母表示数集（例如：$\mathbf{N}$表示自然数集，$\mathbf{Q}$表示有理数集，$\mathbf{R}$表示实数集，$\mathbf{Z}$表示整数集）；还发明了术语``单射''、``满射''和``双射''——你可能无法想象如此基本的数学名词曾经还有多种不统一的叫法. 事实上，现在我们用到的``紧集''（学习数学分析的同学应该知道，现在是用实数完备性中的有限覆盖定理表达的）在布尔巴基学派之前有数十种定义.