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讲义/专题/10 行列式.tex

@@ -7,27 +7,27 @@ \section{导言}
 行列式是线性代数中非常重要的工具，引入行列式这一概念的核心路线有两条，一条是从线性方程的判别式出发的，这是一条代数的路线，而另一条是从体积的变化出发的，这是一条几何的路线. 然而代数和几何之间很多时候是一体两面，从两条路线能够得到相同的结果，我们在导言中不会谈论行列式是什么，但是我们会先告诉读者它具有哪些性质并阐述它们的关系.
 
 先看一看判别式的路线，我们不妨先回顾一下二次方程的判别式，二次方程中
-$$
+\[
 ax^2 + bx + c = 0
-$$
+\]
 经过化简得到了
-$$
+\[
 \left(x- \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac1{4a^2}(b^2 - 4ac) = 0
-$$
+\]
 于是我们有了\term{判别式（discriminant）} $\Delta = b^2 - 4ac$，当 $\Delta = 0$ 时意味着方程产生了重根. 或许你不知道的是三次方程
-$$
+\[
 x^3+ax+b=0
-$$
+\]
 也有判别式 $4a^3 + 27b^2$，它给出了三次方程重根的判据. 如果说 $b^2 - 4ac$ 给出了二次方程重根的判定条件，是圆锥曲线研究中不可或缺的多项式，$4a^3+27b^2$ 给出了三次方程重根的判定条件，贯穿椭圆曲线和相关的密码学，那么线性代数中它的对应物就是\term{行列式（determinant）}，而线性方程组的重根就意味着 $Ax=0$ 有不止 $0$ 这一个根，按照常识大多数情况下 $n$ 个方程能够解出 $n$ 个未知数，所以这里我们限制方程数量和未知数数量相等，即 $A$ 是方阵，这样的判别式我们记作 $\det A$. 由此可见，正如 $\Delta = 0$ 是一元多项式方程重根的标志，$\det A = 0$ 是线性方程组重根的标志，即解不唯一的标志，这等价于方阵不满秩，同时由于解不唯一，这也说明映射不可逆.
 
 虽然从英文的单词形式上看，二者是较为相似的，但是中文上，``判别式''和``行列式''两个词看起来便完全没有关系了，然而我还是希望读者能够将它理解为一种线性方程组版本的``判别式''，我们这章的目的便是找出这样一种判别式.
 
 下面再看体积变化的路线. 当我们考虑一个空间到自己的映射时，一个较为容易理解的与映射相关量是体积乘以的倍数，例如线性变换
-$$
+\[
 \begin{pmatrix}
 \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \ddots \\ &&& \lambda_n
 \end{pmatrix}
-$$
+\]
 显然是将每个坐标轴拉长到了原来的 $\lambda_i$ 倍，体积变化的倍数便是 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$. 从直观上，线性变换使得每块区域的体积（实际上是 $n$ 维的体积）都会以相同的倍数变化，所以这样的一个与矩阵相关的量理应是存在的. 而且显然地应该满足矩阵复合的体积变化倍数等于体积变化倍数的乘积，即 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$，而我们之后严格定义行列式后也会证明这一点.
 
 最方便的做法便是取定单位正方形，考虑变换后的几个向量形成的平行四边形面积（或者高维空间的对应物）：
@@ -1608,17 +1608,17 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
 
 \begin{theorem}{Cauchy-Binet 公式}{Cauchy-Binet 公式}
     设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵.
-    $$
+    \[
     \begin{pmatrix}
     i_1 & \cdots & i_s \\
     j_1 & \cdots & j_s
     \end{pmatrix}
-    $$
+    \]
     表示 $A$ 的一个 $s$ 阶子式，它由 $A$ 的第 $i_1, \cdots, i_s$ 行与第 $j_1, \cdots, j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式. 同理可定义 $B$ 的 $s$ 阶子式.
     \begin{enumerate}
         \item 若 $m > n$，则必有 $|AB| = 0$；
         \item 若 $m \leqslant n$，则必有
-        $$
+        \[
         |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
         \begin{pmatrix}
         1 & 2 & \cdots & m \\
@@ -1629,37 +1629,37 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
         j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\
         1 & 2 & \cdots & m
         \end{pmatrix}.
-        $$
+        \]
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
     令
-    $$
+    \[
     C =
     \begin{pmatrix}
     A & O \\
     -I_n & B
     \end{pmatrix}.
-    $$
+    \]
     我们将用不同的方法来计算行列式 $|C|$.
 
     首先，对 $C$ 进行第三类分块初等变换到矩阵 $M = \begin{pmatrix} O & AB \\ -I_n & B \end{pmatrix}$. 事实上，$M$ 可写为
-    $$
+    \[
     M =
     \begin{pmatrix}
     I_m & A \\
     O & I_n
     \end{pmatrix}
     C,
-    $$
+    \]
     因此 $|M| = |C|$. 用 Laplace 定理来计算 $|M|$，按前 $m$ 行展开得
-    $$
+    \[
     |M| = (-1)^{(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+m)} \cdot I_n ||AB| = (-1)^{n(m+1)} |AB|.
-    $$
+    \]
 
     再来计算 $|C|$，用 Laplace 定理按前 $m$ 行展开. 这时若 $m > n$，则前 $m$ 行中任意一个 $m$ 阶子式至少有一列全为零，因此行列式值等于零，即 $|AB| = 0$. 若 $m \leqslant n$，则由 Laplace 定理得
-    $$
+    \[
     |C| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
     \begin{pmatrix}
     1 & 2 & \cdots & m \\
@@ -1670,33 +1670,33 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
     1 & 2 & \cdots & m \\
     j_1 & j_2 & \cdots & j_m
     \end{pmatrix},
-    $$
+    \]
     其中 $\hat{C} = A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m \end{pmatrix}$ 是矩阵 $C$ 中的代数余子式.
 
     显然
-    $$
+    \[
     \hat{C} = (-1)^{\frac{m(m+1) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)}{2}} \cdot | - e_{i_1}, - e_{i_2}, \cdots, - e_{i_{n-m}}, B |,
-    $$
+    \]
     其中 $i_1, i_2, \cdots, i_{n-m}$ 是 $C$ 前 $n$ 列去掉 $j_1, j_2, \cdots, j_m$ 列后余下的列序数. $e_{i_1}, e_{i_2}, \cdots, e_{i_{n-m}}$ 是相应的 $n$ 维标准单位向量（标准单位向量定义见习题 1）. 记
-    $$
+    \[
     |N| = | - e_{i_1}, - e_{i_2}, \cdots, - e_{i_{n-m}}, B |.
-    $$
+    \]
     现在计算 $|N|$. 用 Laplace 定理按前 $n-m$ 列展开. 注意只有一个子式非零，其值等于 $| - I_{n-m}| = (-1)^{n-m}$. 而这个子式的余子式为
-    $$
+    \[
     B \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{pmatrix}.
-    $$
+    \]
 
     因此
-    $$ |N| = (-1)^{(n-m) + (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)} B
+    \[ |N| = (-1)^{(n-m) + (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m)} B
     \begin{pmatrix}
         j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\
         1 & 2 & \cdots & m
     \end{pmatrix}
-    $$
+    \]
 
     注意到 $ (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m) = 1 + 2 + \cdots + n $.综合上面的结论，经过简单计算不难得到
 
-    $$ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
+    \[ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
     \begin{pmatrix}
         1 & 2 & \cdots & m \\
         j_1 & j_2 & \cdots & j_m
@@ -1706,7 +1706,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
         j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\
         1 & 2 & \cdots & m
     \end{pmatrix}.
-    $$
+    \]
 \end{proof}
 
 下面的定理是 Cauchy-Binet 公式的进一步推广，它告诉我们如何求矩阵乘积的 $r$ 阶子式.
@@ -1739,9 +1739,9 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
 \begin{proof}
     设 $C = AB$，则 $C = (c_{ij})$ 是 $m$ 阶矩阵且
 
-    $$ c_{ij} = a_{i_1} b_{j_1} + a_{i_2} b_{j_2} + \cdots + a_{i_n} b_{j_n}. $$
+    \[ c_{ij} = a_{i_1} b_{j_1} + a_{i_2} b_{j_2} + \cdots + a_{i_n} b_{j_n}. \]
     因此
-    $$
+    \[
     C
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
@@ -1760,20 +1760,20 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         b_{j_1} & b_{j_2} & \cdots & b_{j_r}
     \end{vmatrix}.
-    $$
+    \]
 
     由 Cauchy-Binet 公式可知：$r > n$ 时，$C
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
         j_1 & j_2 & \cdots & j_r
     \end{pmatrix} = 0$；当 $r \leqslant n$ 时，
-    $$
+    \[
     C
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
         j_1 & j_2 & \cdots & j_r
-    \end{pmatrix} $$
-    $$ =\sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A
+    \end{pmatrix} \]
+    \[ =\sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
         k_1 & k_2 & \cdots & k_r
@@ -1782,15 +1782,15 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
     \begin{pmatrix}
         k_1 & k_2 & \cdots & k_r \\
         j_1 & j_2 & \cdots & j_r
-    \end{pmatrix}. $$
+    \end{pmatrix}. \]
 \end{proof}
 
 矩阵 $A$ 的子式
-$$ A
+\[ A
 \begin{pmatrix}
     i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
     j_1 & j_2 & \cdots & j_r
-\end{pmatrix} $$
+\end{pmatrix} \]
 如果满足条件 $i_1 = j_1, i_2 = j_2, \cdots, i_r = j_r$，则称为主子式.
 
 \begin{corollary}{}{}
@@ -1799,7 +1799,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
 
 \begin{proof}
     若 $r \leqslant n$，则由 \autoref{thm:Cauchy-Binet 公式推广} 得到：
-    $$ AA\mathrm{T}
+    \[ AA\mathrm{T}
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r
@@ -1808,26 +1808,26 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
     \begin{pmatrix}
         i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
         k_1 & k_2 & \cdots & k_r
-    \end{pmatrix}^2 \geqslant 0; $$
+    \end{pmatrix}^2 \geqslant 0; \]
     若 $r > n$，则 $AA^\mathrm{T}$ 的任一 $r$ 阶主子式等于零，结论也成立.
 \end{proof}
 
 下面给出 Cauchy-Binet 公式的一些应用. 下面的例子是著名的 Lagrange 恒等式，这可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁.
 
 \begin{example}{}{}
     证明 Lagrange 恒等式 $(n \geqslant 2)$：
-    $$ \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. $$
+    \[ \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. \]
 \end{example}
 
 \begin{solution}
     左边的式子等于
-    $$ \begin{vmatrix}
+    \[ \begin{vmatrix}
         \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\
         \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2
-    \end{vmatrix}, $$
+    \end{vmatrix}, \]
 
     这个行列式对应的矩阵可化为：
-    $$ \begin{pmatrix}
+    \[ \begin{pmatrix}
         a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
         b_1 & b_2 & \cdots & b_n
     \end{pmatrix}
@@ -1836,10 +1836,10 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
         a_2 & b_2 \\
         \vdots & \vdots \\
         a_n & b_n
-    \end{pmatrix}. $$
+    \end{pmatrix}. \]
     用 Cauchy-Binet 公式得
 
-    $$
+    \[
     \begin{vmatrix}
         \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\
         \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2
@@ -1850,7 +1850,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
         b_i & b_j
     \end{vmatrix}^2
     = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2.
-    $$
+    \]
 \end{solution}
 
 \section{伴随矩阵}

讲义/专题/14 相似标准形：动机与基础.tex

@@ -708,7 +708,7 @@ \subsection{特征向量的基本性质}
 
 这一部分的定理与下一讲中得到简单矩阵的可对角化的等价条件直接相关，实际上有了本节的定理，可对角化条件是很显然的.
 \begin{theorem}{}{特征向量的基本性质}
-    设$V$是有限维的，$\sigma\in L(V)$且$\lambda\in\mathbf{F}$，则
+    设$V$是有限维的，$\sigma\in \mathcal{L}(V)$且$\lambda\in\mathbf{F}$，则
     \begin{enumerate}
         \item $\sigma$的不同特征值对应的特征向量线性无关；
 

讲义/专题/15 相似标准形：复数域上的尝试与理论.tex

@@ -906,7 +906,7 @@ \subsection{平方根问题}
             则$0$是$\sigma$仅有的特征值，但$\sigma^3=-\sigma\neq 0$，$\sigma$不为幂零线性变换.
           \end{solution}
           \begin{example}{}{}
-              找出一个$\sigma\in L(\mathbf{R}^2)$使得$\sigma^4=-I$.
+              找出一个$\sigma\in \mathcal{L}(\mathbf{R}^2)$使得$\sigma^4=-I$.
           \end{example}
           \begin{solution}
             从旋转的角度考虑可以得到$\sigma(x,y)=(x,y)\cdot$
@@ -918,7 +918,7 @@ \subsection{平方根问题}
           \end{solution}
     \item 考虑简单的情况：例如考虑2阶、3阶的简单线性变换/矩阵
           \begin{example}{}{}
-              证明或给出反例：$V$上的幂零线性变换的集合是$L(V)$的子空间.
+              证明或给出反例：$V$上的幂零线性变换的集合是$\mathcal{L}(V)$的子空间.
           \end{example}
           \begin{solution}
             反例：$V=\mathbf{R}^2,\sigma,\tau$在自然基下的矩阵分别为

讲义/专题/25 线性代数与微积分.tex

@@ -372,7 +372,7 @@ \section{多元函数微分学}
 
 所以 $\varphi$ 是一个压缩映射，因此 $\varphi$ 有唯一的不动点，即存在唯一的 $x_*\in \mathbf{R}^n$ 使得 $x_* = Ax_* + v$，即 $(I_n - A)x_* = v$，所以 $I_n - A$ 为单射，即可逆.
 
-对于恒同映射 $I_n$ 来讲，范数小于 $1$ 的映射相对于它是一个\term{微小扰动}，上面的例子告诉我们，对于一个像恒同映射这样的可逆映射施加一个微小扰动得到的映射是可逆的. 在一般的向量值函数中，微小扰动的例子丰富极了，因为每一个在某一点 $x_0$ 可微的向量值函数在该点都可以将其线性化，也就是分解成 $L(x - x_0) + o(\Vert x - x_0\Vert)$，将后一项视作微小扰动 $\varepsilon(x - x_0)$ ，所以我们可以猜测：如果向量值函数的微分在某一点 $x_0$ 可逆，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 与 $y_0 = f(x_0)$ 的邻域 $V$ 使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的. 不过我们需要对这个函数添加一定的可微性条件. 一个向量值函数是 $C^k$ 的是指其每个分量都是一个 $k$ 次连续可微函数. 这就是\term{反函数定理}的内容.
+对于恒同映射 $I_n$ 来讲，范数小于 $1$ 的映射相对于它是一个\textbf{微小扰动}，上面的例子告诉我们，对于一个像恒同映射这样的可逆映射施加一个微小扰动得到的映射是可逆的. 在一般的向量值函数中，微小扰动的例子丰富极了，因为每一个在某一点 $x_0$ 可微的向量值函数在该点都可以将其线性化，也就是分解成 $L(x - x_0) + o(\Vert x - x_0\Vert)$，将后一项视作微小扰动 $\varepsilon(x - x_0)$ ，所以我们可以猜测：如果向量值函数的微分在某一点 $x_0$ 可逆，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 与 $y_0 = f(x_0)$ 的邻域 $V$ 使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的. 不过我们需要对这个函数添加一定的可微性条件. 一个向量值函数是 $C^k$ 的是指其每个分量都是一个 $k$ 次连续可微函数. 这就是\term{反函数定理}的内容.
 
 \begin{theorem}{反函数定理}{}
     设 $D\subset \mathbf{R}^n$ 为开集，$f\colon D\to\mathbf{R}^n$ 为 $C^{k}$ 的映射 $(k\geqslant 1)$，$x_0\in D$. 如果 $\det Jf(x_0)\neq 0$，那么存在 $x_0$ 的邻域 $U\subset D$ 与 $f(x_0)$ 的邻域 $V\subset D$，使得 $f|_U \colon U\to V$ 是可逆的，并且其逆也是 $C^k$ 的.
@@ -601,9 +601,9 @@ \section{积分学}
               \begin{tikzpicture}[scale=2]
                   \draw (0, 0) grid (2, 2);
                   \foreach \i in {0.5, 1.5}
-                  \foreach \j in {0.5, 1.5}
-                  \draw[fill=gray!50] (\i, \j) circle (0.5)
-                  \foreach \k in {45, 135, 225, 315} {($(\i, \j) + (\k:{sqrt(2)/(sqrt(2)+1)})$) circle ({(sqrt(2)-1)/(2+2*sqrt(2))})};
+                      \foreach \j in {0.5, 1.5}
+                          \draw[fill=gray!50] (\i, \j) circle (0.5)
+                              \foreach \k in {45, 135, 225, 315} {($(\i, \j) + (\k:{sqrt(2)/(sqrt(2)+1)})$) circle ({(sqrt(2)-1)/(2+2*sqrt(2))})};
               \end{tikzpicture}
               \caption{第二覆盖引理}
           \end{figure}